Modello di Black e Scholes per opzioni call e put europee. Stima il prezzo teorico, la volatilità implicita, il dividend yield e le Greeks come delta, gamma, theta, vega e rho.
Formule Black-Scholes-Merton
Per le opzioni europee con dividend yield continuo, il modello Black-Scholes-Merton utilizza le seguenti formule di valutazione:
$$\begin{aligned}
C &= S e^{-qT} N(d_1) - X e^{-rT} N(d_2) \\
P &= X e^{-rT} N(-d_2) - S e^{-qT} N(-d_1) \\
d_1 &= \frac{\ln(S/X) + (r - q + \sigma^2 / 2)T}{\sigma \sqrt{T}} \\
d_2 &= d_1 - \sigma \sqrt{T}
\end{aligned}$$
FAQ sul modello di Black e Scholes
A cosa serve il calcolatore Black-Scholes-Merton?
Stima il valore teorico di opzioni call e put europee a partire dal prezzo del sottostante, strike, tempo alla scadenza, tasso privo di rischio, dividend yield e volatilità. Questa pagina mostra anche le principali Greeks, un grafico payoff e un risolutore di volatilità implicita.
Che cos’è il modello di Black e Scholes?
Il modello di Black e Scholes, nella versione Black-Scholes-Merton, è un modello matematico usato per stimare il valore teorico di opzioni europee call e put a partire da prezzo del sottostante, strike, tempo, tassi, dividend yield e volatilità.
Qual è la formula di Black-Scholes-Merton?
Per attività con dividend yield continuo, il modello usa C = S e^(-qT) N(d1) - X e^(-rT) N(d2) per le call e P = X e^(-rT) N(-d2) - S e^(-qT) N(-d1) per le put, dove d1 e d2 dipendono da prezzo, strike, tempo, tassi, dividend yield e volatilità.
Che cos’è la volatilità implicita?
La volatilità implicita è il livello di volatilità implicito nel prezzo di mercato dell’opzione. Invece di inserire direttamente σ, puoi inserire un prezzo di mercato osservato di una call o put e lasciare che il calcolatore trovi la volatilità che riproduce quel prezzo nel modello Black-Scholes-Merton.
Come vengono mostrati theta, vega e rho in questo calcolatore?
Questo calcolatore mostra theta per giorno. Vega e rho sono mostrati come variazione del prezzo dell’opzione per una variazione di 1 punto percentuale della volatilità o del tasso di interesse. Alcuni strumenti professionali usano theta annualizzato o versioni in decimale grezzo di vega e rho, quindi le convenzioni contano quando si confrontano i risultati.
Che cosa significano valore intrinseco, valore estrinseco e moneyness?
Il valore intrinseco è il valore che l’opzione avrebbe se fosse esercitata immediatamente. Per una call è max(S - X, 0); per una put è max(X - S, 0). Il valore estrinseco è il premio residuo legato al tempo e alla volatilità sopra il valore intrinseco. La moneyness indica se l’opzione è ITM, ATM oppure OTM.
Questo calcolatore funziona per opzioni americane?
No. Il framework Black-Scholes-Merton è progettato per opzioni di stile europeo, che possono essere esercitate solo a scadenza. Le opzioni americane possono essere esercitate prima, quindi di solito serve un modello diverso o un metodo numerico.
Come scegliere il tasso privo di rischio e il dividend yield?
Un approccio pratico consiste nell’usare un tasso privo di rischio di riferimento nella stessa valuta e un’ipotesi di dividend yield continuo coerente con il sottostante. Per opzioni su azioni, molti utenti partono da un rendimento governativo di breve o medio termine e da una stima del dividendo atteso dell’azione o dell’indice.
Quali sono i principali limiti del modello?
Il modello presuppone volatilità costante, tassi costanti, una dinamica lognormale dei prezzi ed esercizio europeo. I mercati reali possono mostrare smile di volatilità, salti di prezzo, variazioni dei tassi, costi di transazione e caratteristiche di esercizio anticipato, quindi il risultato va considerato come una stima di modello e non come un prezzo di mercato garantito.
